Marcos Witt - Poema de Salvación

problema para mañana

considerese la tabla

1	=1
3+5	=8
7+9+11	=27
14+15+17+19	=64
21+23+25+27+29	=125

deduzca la ley general sugerida por esos ejemplos, exprésela por medio de una formula matemática apropiada y demuéstrela.

Este es el problema que quiero hacer . esta aparatado.

SOLUCION:

En la n-ésima linea, el segundo miembro parce ser $n^3$, siendo el primer mienbro una suma de $n$ terminos. El ultimo término de dicha suma es el m-ésimo número impar o $2m-1$, donde

$m=1+2+3+4+...+n= \frac{n(n+1)}{2}$

el ultimo termino de la suma del primer mienbro deberá ser pues

$2m-1={n^2}+ n-1$

se puede deducir de ello el primer término de la suma, considerando a ésta de dos maneras: bien regresando n-1 pasos a partir del último termino lo que da.

$[(n^2 + n - 1 ) - 2(n - 1)-1]={n^2}-n-1$

bien añadiendo un término al último de la linea precedente, lo que da

$[{(n-1)^2}+(n-1)]+2$

Lo que despeus de una ampliación sencilla, se deduce a la misma expresion: ¡Bien! Afirmamos, pues que

$({n^2}-n+1)+({n^2}+n+3)+ . . . +({n^2}+n-1)={n^3}$

Donde e primer miembro es la suma de $n$ términos sucesivos de una progresión aritmetica cuya razón es 2.

[La regla que da la suma de una progresión (media aritmetica del primero y del ultimo término, multiplicada por el numero de terminos)]

podra verificar que

$\frac{({n^2}-n+1)+({n^2}+n-1)}{2}n={n^3}$

y demostrar asi la afirmación.

COMPROBACIÓN

Para el valor de $n=1$

$\frac{({1^2}-1+1)+({1^2}+1-1)}{2}1={1^3}$

$1=1$

para el valor de $n=2$

$\frac{({2^2}-2+1)+({2^2}+2-1)}{2}2={2^3}$

$8=8$

.

.

.

para el valor de $n=5$

$\frac{({5^2}-5+1)+({5^2}+5-1)}{2}5={5^3}$

$125=125$

.

.

.

etc.

me parecio muy interesante el link que me mando el profesor cantoral.

lo dejo Aqui, para que puedan revisarlo ustedes tambien, mm me fustaria hablar de eso en clase. saludos

Triángulo de Pascal y números Combinatorios

Los números del triángulo de Pascal coinciden con los números combinatorios.
El número combinatorio Cm n (n sobre m) se encuentra en el triángulo en la fila n+1, en el lugar m+1.
El número combinatorio Cm n (n sobre m) que representa el número de grupos de m elementos que pueden hacerse de entre un conjunto de n (por ejemplo, (4 sobre 2) nos da el número de parejas distintas que podrían hacerse en un grupo de cuatro personas), se encuentra en el triángulo en la fila n+1, en el lugar m+1.

$1$

$1 1$

$1 2 1$

$1 3 3 1$

$1 4 6 4 1$

$1 5 10 10 5 1$

...

Podemos saber que el número de parejas posibles que decíamos antes es 6 si miramos el tercer número de la quinta fila.
Esto hace que el triángulo sea útil como representación de estos números, y proporciona una buena forma de intuir sus propiedades.
Por el contrario, a la fórmula de los números combinatorios se le puede dar el carácter de fórmula general del triángulo para saber, sin necesidad de construir todas las filas anteriores, cuál es el número que ocupa un lugar determinado.

USO DEL FACEBOOK EN EL MUNDO

¿QUE ES EL BULLING?

La palabra "bulling" en inglés significa maltrato e intimidación entre iguales. En el colegio, y en otras actividades de nuestra sociedad, se dan situaciones de acoso. En las que algunos alumnos intimidan y humillan a otros compañeros que son más débiles o vulnerables.

Se considera maltrato a “toda acción reiterada a través de diferentes formas de acoso u hostigamiento entre dos alumnos/as o entre un alumno/a y un grupo de compañeros, en el que la víctima está en situación de inferioridad respecto al agresor o agresores”

A veces se interpreta como bulling situaciones de conflicto o peleas puntuales entre iguales. Éstas, aunque reprobables, no son situaciones de bulling. Ya que para que sean consideradas como tal debe haber un componente de repetitividad en el tiempo, así como una intención premeditada de producir daño. Del mismo modo hay que distinguir el maltrato o bulling de conductas antisociales o criminales como agresiones con armas punzantes o agresiones sexuales. Hechos que deben ser inmediatamente denunciados a la policía.

¿Cómo es el agresor? ¿Qué tipo de niño o adolescente puede cometer estos actos de crueldad con sus semejantes? Una característica compartida por los agresores es la falta de empatía, es decir, la incapacidad de ponerse en el lugar del otro. No piensan que sus actos repercuten en otra persona que los siente y padece como un tormento, incluso puede llegar a pensar que la víctima se lo merece. A pesar de la impopularidad del agresor entre los compañeros, consigue el reconocimiento de estos demostrando que es fuerte al producir miedo y prepotencia. El Bulling en muchos casos puede convertirse en la antesala de la conducta delictiva posterior. Los agresores suelen ser también personas con una muy baja autoestima y que descargan su frustración con los más débiles, o al menos a los que ellos perciben como más débiles.

La víctima puede ser cualquiera: el gordito, el que lleva gafas, el que se incorpora tarde… Pero sí suele coincidir que son niños con una falta de asertividad (una parte de las habilidades sociales, aquella que reúne las conductas y pensamientos que nos permiten defender los derechos de cada uno sin agredir ni ser agredido) y de competencia social. La víctima así considerada, sufrirá debido al Bulling una falta de autoestima social, altas dosis de fracaso escolar, una ansiedad anticipatoria ya que cuando sale del colegio no termina el problema, sino que ya comienza a anticipar lo que se será el infierno de mañana, mostrando por tanto un rechazo al entorno escolar que se traduce en estrés. El niño tenderá a sentirse indefenso, tendrá una creciente fobia a la escolarización, tendencia a la depresión e impulsos suicidas. En algunos casos se ha llegado a culpabilizar de la situación que está viviendo, ya que cada acto de humillación mina su autoestima un poco más.

Pero no solo son víctimas los niños que sufren de Bulling, los espectadores de los casos de maltrato en la escuela miran hacia otro lado, lo que hace que lleguen a creerse que el fuerte tiene poder, y que es justo que así sea o que se meten con ese niño porque es un “pringao” y se refuerzan posturas egoístas (“mientras no me toque a mí”). Puede llevar a los niños a no valorar la violencia que ocurre a su alrededor, llegando a una cierta insensibilización.

Pero, ¿qué podemos hacer si nuestro hijo o hija está siendo víctima del Bulling? Escuchar a nuestro hijo sin menospreciarlo ni comentando que “eso es cosa de chicos”, ya que la violencia no es algo natural. Deberemos indagar discretamente si realmente ha ocurrido eso que nos cuenta. En caso afirmativo, y sin más demora, debemos contactar con el colegio, solicitando la intervención y cooperación del profesorado, fijando una estrategia de intervención para detener el daño que se está produciendo, y para tratar a medio y largo plazo las relaciones entre los involucrados.

Otras acciones muy convenientes para evitar, sabiendo que cualquiera puede ser víctima del Bulling, que nuestros hijos se conviertan en víctimas son el potenciar su autoestima y confianza en sí mismos. Es muy conveniente el potenciar en ellos la amistad ya que la falta de amigos incrementa el riesgo de convertirse en víctima y hace que disminuya más su impopularidad y su aislamiento. A nuestros hijos hay que ayudarles para que sean amigos de todos y muestren especial simpatía hacia los que se encuentran más solos. Podemos aprovechar los últimos casos de Bulling difundidos por la TV para hablar con nuestros hijos. Puede ser que halla sido espectador de alguna situación de abuso y es bueno el hablar con él para saber qué piensa, qué soluciones podrían dar, para orientarle y ayudarle a formar su conciencia. Como siempre, una buena comunicación entre los padres y los hijos puede ayudarnos a prevenir y, en caso de sufrirla o bien ser espectador de esa violencia, podremos adelantarnos a buscar una solución o bien a minimizar y formar adecuadamente.

HISTORIA DEL CALCULO

Las principales ideas que apuntalan el cálculo se desarrollaron durante un periodo de tiempo muy largo sin duda. Los primeros pasos fueron dados por los matemáticos griegos.

Para los antiguos griegos, los números eran cocientes de enteros así que la recta numérica tenía 'hoyos' en ella. Le dieron la vuelta a esta dificultad usando longitudes, áreas y volúmenes además de números ya que, para los griegos, no todas las longitudes eran números.

Zenón de Elea, alrededor de 450 a. C., planteó una serie de problemas que estaban basados en el infinito. Por ejemplo, argumentó que el movimiento es imposible:

"Si un cuerpo se mueve de A a B entonces, antes de llegar a B pasa por el punto medio, B₁, deAB. Ahora bien, para llegar a B₁ debe primero pasar por el punto medio B₂ de AB₁. Continuando con este argumento se puede ver que A debe moverse a través de un número infinito de distancias y por lo tanto no puede moverse."

Leucippo, Demócrito y Antifon hicieron contribuciones al método exhaustivo griego al que Eudoxo dio una base científica alrededor de 370 a. C. El método se llama exhaustivo ya que considera las áreas medidas como expandiéndolas de tal manera que cubran más y más del área requerida.

Diagrama de Arquímedes

Sin embargo, Arquímedes, alrededor de 225 a. C. hizo uno de las contribuciones griegas más significativas. Su primer avance importante fue demostrar que el área de un segmento de parábola es⁴/₃ del área del triángulo con los mismos base y vértice y es igual a ²/₃del área del paralelogramo circunscrito. Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas

A, A + A/₄, A + A/₄ + A/₁₆, A + A/₄ + A/₁₆ + A/₆₄, ...

El área del segmento de la parábola es, por lo tanto:

A(1 + ¹/₄ + ¹/₄² + ¹/₄³ + ...) = (⁴/₃)A.

Este es el primer ejemplo conocido de suma de una serie infinita. Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un círculo. Esto, por supuesto, es un ejemplo temprano de integración que llevó a valores aproximados de π.

Entre otras 'integraciones' de Arquímedes estaban el volumen y la superficie de una esfera, el volumen y área de un cono, el área de una elipse, el volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolución y un segmente de un hiperboloide de revolución.

No hubo más progresos hasta el siglo XVI cuando la mecánica empezó a llevar a los matemáticos a examinar problemas como el de los centros de gravedad. Luca Valerio (1552-1618) publicó De quadratura parabolae en Roma (1606) que continuaba los métodos griegos para atacar este tipo de problemas de calcular áreas. Kepler, en su trabajo sobre movimientos planetarios, tenía que encontrar el área de sectores de una elipse. Su método consistía en pensar en las áreas como sumas de líneas, otra forma rudimentaria de integración, pero Kepler tenía poco tiempo para el rigor griego y más bien tuvo suerte de obtener la respuesta correcta ya que cometió dos errores que se cancelaron uno al otro en su trabajo.

Tres matemáticos, nacidos en un periodo de tres años, fueron los siguientes en hacer contribuciones importantes. Eran Fermat, Roberval y Cavalieri. Este último llegó a su 'método de los indivisibles' por los intentos de integración de Kepler. No fue riguroso en su acercamiento y es difícil ver con claridad cómo se le ocurrió su método. Al parecer Cavalieri pensó en un área como formada por componentes que eran líneas y luego sumó su número infinito de 'indivisibles'. Demostró, usando estos métodos, que la integral de xⁿ entre 0 y a era aⁿ⁺¹/(n+1) mostrando el resultado para ciertos valores de n e infiriendo el resultado general.

Roberval consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso que Cavalieri. Roberval se fijó en el área entre una curva y una línea como formada por un número infinito de rectángulos infinitamente delgados. Aplicó esto a la integral de x^m entre 0 y 1 y demostró que tenía un valor aproximado de

(0^m + 1^m + 2^m +...+ (n-1) ^m)/n^m+1.

Roberval entonces afirmó que esto tendía a 1/(m+1) cuando n tiende a infinito, calculando así el área.

Fermat también fue más riguroso en su acercamiento pero no dio demostraciones. Generalizó la parábola y la hipérbola:

Parábola: ^y/_a = (^x/_b)² generalizada como (^x/_a)ⁿ = (^y/_b)^m.

Hipérbola: ^y/_a = (^b/_x)² generalizada como (^y/_a)ⁿ = (^b/_x)^m.

Al estar examinando ^y/_a = (^x/_b)^p, Fermat calculó la suma de r^p para r entre 1 y n. Fermat también investigó máximos y mínimos considerando dónde la tangente a la curva es paralela al eje X. Le escribió a Descartesdando el método esencialmente como se usa hoy, es decir, encontrando los máximos y los mínimos calculando dónde la derivada de la función es 0. De hecho, debido a este trabajo Lagrange afirmó claramente que él consideraba a Fermat como el inventor del cálculo.

Descartes produjo un importante método para deteminar normales en La Géometrie en 1637 basado en la doble intersección. De Beaune extendió sus métodos y los aplicó a las tangentes; en este caso la doble intesección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más sencillo, llamado la Regla de Hudde, que básicamente involucra a la derivada. El método de Descartes y la Regla de Hudde tuvieron una influencia importante sobre Newton.

Huygens criticó las pruebas de Cavalieri diciendo que lo que se necesita es una demostración que al menos convenza de que puede construirse una prueba rigurosa. Huygens tuvo gran influencia sobre Leibniz y por lo tanto jugó un papel importante en la producción de un acercamiento más satisfactorio al cálculo.

Triángulo de Barrow

El siguiente paso importante lo dieron Torricelli y Barrow. El segundo dio un método de tangentes a una curva en el que la tangente está dada como el límite de una cuerda cuando los puntos se acercan uno a otro y que es conocido como el triángulo diferencial de Barrow.

Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia. De aquí empezó a evolucionar naturalmente una concienciación de la inversa de la diferenciación y que Barrow estuviera familiarizado con la idea de que integral y derivada son inversas una de otra. De hecho, aunque Barrow nunca afirmó explícitamente el teorema fundamental del cálculo, estaba trabajando hacia el resultado y Newton continuaría en esta dirección y daría explícitamente el Teorema Fundamental del Cálculo.

El trabajo de Torricelli fue continuado en Italia por Mengoli y Angeli.

Newton escribió un tratado sobre fluxiones en octubre de 1666. Esta obra no sería publicada en ese momento pero fue revisada por muchos matemáticos y tuvo gran influencia sobre la dirección que tomaría el cálculo. Newton pensó en una partícula que dibuja una curva con dos líneas que se mueven que eran las coordenadas. La velocidad horizontal x' y la velocidad vertical y' eran las fluxiones de x y y asociadas con el flujo del tiempo. Los fluentes o cantidades flotantes eran x y y mismas. Con esta notación de fluxión, y' / x' era la tangente a ƒ( x,y) = 0.

En su tratado de 1666, Newton discute el problema inverso: encontrar y dada la relación entre x y y'/x'. Por lo tanto la pendiente de la tangente estaba dada para cada x y cuando y'/x' = ƒ(x) entonces Newton resuelve el problema mediante la antidiferenciación. También calculó áreas mediante este método y su obra contiene el primer enunciado claro del Teorema Fundamental del Cálculo.

Newton tuvo problemas para publicar su obra matemática. Barrow tuvo algo de culpa ya que el editor de la obra de Barrow había quebrado y después de esto ¡otros tenían temor de publicar obras matemáticas! La obra de Newton sobre Análisis con series infinitas fue escrita en 1669 y circuló como manuscrito. No fue publicada sino hasta 1711. Se modo similar, su Método de fluxiones y series infinitas fue escrito en 1671 y publicado en inglés en 1736. El original en latín fue publicado mucho después.

En estas dos obras, Newton calculó la expansión en serie de sen x y cos x y la expansión de lo que en realidad es la función exponencial pero ésta función no quedaría establecida como tal hasta que Euler introdujo la notación actual e^x.

Aquí se pueden ver la Newton fue el Tractatus de Quadrarura Curvarum que escribió en 1693 pero no fue publicado hasta 1704 cuando la publicó como un apéndice de su Optiks. Su trabajo contiene otro acercamiento que involucra el cálculo de límites. Newton dice:

xⁿ + nox^n-1 + (nn - n)/2 oox^n-2 + ...

Al final deja que el incremento o desaparezca 'tomando límites'.

Leibniz aprendió mucho en un viaje por Europa en el que conoció a Huygens en París en 1672. También conoció a Hooke y a Boyle en Londres en 1673 donde compró varios libros de matemáticas, incluyendo las obras de Barrow. Leibniz sostendría una larga correspondencia con Barrow. Al volver a París, Leibnizrealizó un trabajo buenísimo sobre el cálculo, pensando en los fundamentos de manera muy distinta aNewton.

Newton consideraba que las variables cambiaban con el tiempo. Leibniz pensaba que las variables x, yvariaban sobre secuencias de valores infinitamente cercanos. Introdujo a dx y dy como las diferencias entre valores consecutivos de esas secuencias. Leibniz sabía que ^dx/_dy da la tangente pero no la usó como una propiedad que defina.

Para Newton, la integración consistía en encontrar flujos para una fluxión dada así que se implica el hecho de que la integración y la diferenciación son inversas. Leibniz usaba la integral como una suma, de forma muy similar a la de Cavalieri. También estaba contento con el uso de las 'infinitesimales' dx y dymientras que Newton usaba x' y y' que eran velocidades finitas. Por supuesto que ni Leibniz ni Newtonpensaban en términos de funciones, pero ambos pensaban siempre en términos de gráficas. ParaNewton, el cálculo era geométrico mientras que Leibniz lo llevó hacia el análisis.

Leibniz estaba bien consciente de que encontrar una buena notación era sumamente importante y pensó en ella mucho tiempo. Newton, por otro lado, escribió más bien para él mismo y, como consecuencia, tendía a usar cualquier notación que se lo ocurriera ese día. La notación d y ∫ de Leibniz destacaban el aspecto de operadores que probaría ser importante más adelante. Para 1675, Leibniz se había quedado con la notación

$∫y dy = y^2/2$

escrita exactamente como se hace hoy. Sus resultados sobre cálculo integral fueron publicados en 1864 y 1686 con el nombre de calculus summatorius; el término 'cálculo integral' fue sugerido por Jacobo Bernoulli en 1690.

Después de Newton y Leibniz, el desarrollo del cálculo fue continuado por Jacobo Bernoulli y Johann Bernoulli. Sin embargo, cuando Berkeley publicó su Analyst en 1734 atacando la falta de rigor en el cálculo y disputando la lógica sobre la que se basaba, entonces se hicieron grandes esfuerzos para amarrar el razonamiento. Maclaurin intentó poner el cálculo sobre una base geométrica rigurosa pero sus fundamentos realmente satisfactorios tendrían que esperar al trabajo de Cauchy en el siglo XIX.